线性代数，特征值与矩阵的秩之间的关系，证明和求通解
线性代数，特征值与矩阵的秩之间的关系，证明和求通解
我们给出一道实例，通过例题来帮助理解
做题之前先审题，第一小题很容易就做出来了
题目给出了两个信息，第一个，是矩阵A有3个不同的特征值
由此可以得到矩阵A可以对角化，与对角矩阵P{λ1,λ2,λ3}相似
第二个条件，就是α3=α1+2α2
可以得到
图二
由此可知，A的其中一个特征值便为0
由于三个特征值不同，说明其他两个特征值都不为零，那么它的对角矩阵P为{λ1,λ2,0}
因为相似，所以可以得到r(P)=r(A)=2
第二小题，要根据第一小题来做了
要求Ax=β的通解，我们先来看看Ax=0的通解
很明显，通过条件α3=α1+2α2可以得到Ax=0的通解，如下图所示
图三
再根据β=α1+α2+α3可以得到
图四
即为
图五
那么最后就可以得到Ax=β的通解为
图六
详细解题过程如下图所示
图七，详细步骤如图
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